Norme d'un vecteur et distance entre deux points

Propriété
Dans une base orthonormée \(\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\) du plan, on considère un vecteur \(\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x\\ y \\ \end{pmatrix}\).
La norme du vecteur \(\overrightarrow{u}\) est donnée par \(\boxed{\lvert\lvert \overrightarrow{u} \rvert \rvert = \sqrt{x^2 + y^2}}\) .

Exemple

Soit \(\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 5\\ -2\\ \end{pmatrix}\). On a \(\lvert\lvert \overrightarrow{u} \rvert \rvert = \sqrt{5^2 + (-2)^2} = \sqrt{25+4} = \sqrt{29}\).

Propriété
Dans un repère orthonormé \(\left( \text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\), on considère deux points \(\text A \left( x_{\text A} ; y_{\text A}\right)\) et \(\text B \left( x_{\text B} ; y_{\text B}\right)\).
La distance entre les points \(\text A\) et \(\text B\) est donnée par  \(\boxed{\text{AB} = \sqrt{\left(x_{\text B} - x_{\text A} \right)^2 +\left( y_{\text B} - y_{\text A}\right)^2}}\) .

Démonstration (partielle)

Dans un repère orthonormé \(\left( \text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\), on considère deux points \(\text A \left( x_{\text A} ; y_{\text A}\right)\) et \(\text B \left( x_{\text B} ; y_{\text B}\right)\).
Supposons que \(0 \leqslant x_{\text A} < x_{\text B}\) et \(0 \leqslant y_{\text A} <y_{\text B}\) (la démonstration est analogue dans les autres cas).
On pose \(\text C \left(x_{\text B} ; y_{\text A} \right)\).
Ainsi, le triangle \(\text{ABC}\) est rectangle en \(\text C\) et on a \(\text{AC} = x_{\text B} - x_{\text A}\) et \(\text{BC} = y_{\text B} - y_{\text A}\).

D'après le théorème de Pythagore, on a \(\text{AB}^2 = \text{AC}^2 + \text{BC}^2\) soit \(\text{AB}^2 = \left(x_{\text B} - x_{\text A} \right)^2 + \left( y_{\text B} - y_{\text A} \right)^2\).
Une distance étant positive, on obtient : \(\boxed{\text{AB} = \sqrt{\left(x_{\text B} - x_{\text A} \right)^2 +\left( y_{\text B} - y_{\text A}\right)^2}}\).

Exemple
Dans un repère orthonormé \(\left( \text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\), on considère deux points \(\text A \left( \color{green}{-1} ~; \color{red}{5}\right)\) et \(\text B \left( \color{blue}{3}~ ; \color{orange}{-7}\right)\).
On a \(\text{AB} = \sqrt{\left(\color{blue}{x_{\text B}} - \color{green}{x_{\text A}} \right)^2 +\left( \color{orange}{y_{\text B}} - \color{red}{y_{\text A}}\right)^2}\)

soit \(\text{AB} = \sqrt{\left(\color{blue}{3} - (\color{green}{-1}) \right)^2 +\left( \color{orange}{-7} - \color{red}{5}\right)^2}\)

soit \(\boxed{\text{AB} = 4\sqrt{10}}\).